备课

剖析教学问题

①剖析教程：

不等式历来是高考考试的重点内容。对于本以后讲，考察有关不等式性质的入门知识、基本办法，而且还考察逻辑推理能力、剖析问题、解决问题的能力。本将内容在复习时，要在思想办法上下功夫。

预测2025年的高考考试命题趋势：

1．从题型上来看，选择题、填空题都大概考察，把不等式的性质与函数、三角结合起来综合考察不等式的性质、函数单调性等，多以选择题的形式出现，解答卷以含参数的不等式的证明、求解为主；

2．借助基本不等式解决像函数 的单调性或解决有关值问题是考察的重点和热门，应加大练习。

②剖析学生：对公式的记忆或许会有困难，对证明题办法的把握可能不准。

确定教学目的（三维目的）

学会常识技能、过程办法、情感态度与价值观

1．不等关系

通过具体情境，感受在现实世界和日常存在着很多的不等关系，知道不等式（组）的实质背景；

2．基本不等式：（a,b≥0）

①探索并知道基本不等式的证明过程；

②会用基本不等式解决简单的大（小）问题

打造解决教学的策略

①重点、难题：、

1.理解不等式的性质。2.熟练学会两个正数的均值定理，并会解决一些实质问题。

3学会用剖析法、综合法和比较法证明简单的不等式。

教学方法：讲授

教学环境和教具：多媒体

上课

运行策略

1.导课：1．不等式的性质

比较两实数大小的办法——求差比较法

；

；

。

定理1：若 ，则 ；若 ，则 ．即 。

说明：把不等式的左侧和右侧交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。

定理2：若 ，且 ，则 。

说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性。

定理3：若 ，则 。

说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；

（2）定理3的证明等于比较 与 的大小，使用的是求差比较法；

（3）定理3的逆命题也成立；

（4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。

定理3推论：若 。

说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式。

定理4．假如 且 ，那样 ；假如 且 ，那样 。

推论1：假如 且 ，那样 。

说明：（1）不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；（2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；（3）推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。

推论2：假如 ， 那样 。

定理5：假如 ，那样 。

2．基本不等式

定理1：假如 ，那样 （当且仅当 时取“ ”）。

说明：（1）指出定理适用范围： ；（2）强调取“ ”的条件 。

定理2：假如 是正数，那样 （当且仅当 时取“=”）

说明：（1）这个定理适用的范围： ；（2）大家称 的算术平均数，称的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3．常见的证明不等式的办法

（1）比较法

比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。

（2）综合法

借助某些已经证明过的不等式（比如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明办法叫综合法；借助某些已经证明过的不等式和不等式的性质时应该注意它们各自成立的条件。

综合法证明不等式的逻辑关系是： ，及从已知条件 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论 。

（3）剖析法

证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，剖析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为断定这类充分条件是不是拥有的问题，假如可以一定这类充分条件都已拥有，那样就能判定原不等式成立，这种办法一般叫做剖析法。

（1）“剖析法”是从求证的不等式出发，剖析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为断定这类充分条件是不是拥有的问题，即“执果索因”；

（2）综合过程有时正好是剖析过程的逆推，所以常用剖析法探索证明的渠道，然后用综合法的形式写出证明过程。

2.教学结构：典例分析

题型1：考查不等式性质的题目

例1．（1）（06上海文，14）假如，那样，下列不等式中正确的是（）

（A） （B） （C） （D）

（2）（06江苏，8）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是

（A） （B）

（C）（D）

分析：（1）答案：A；显然 ，但没办法判断 与 的大小；

（2）运用排除法，C选项，当a－b0时不成立，运用公式必须要注意公式成立的条件，假如，假如a,b是正数，那样

点评：本题主要考查.不等式恒成立的条件，因为给出的是不完全提干，需要结合选择支，才能得出正确的结论。

例2．（1）（2003京春文，1）设a，b，c，d∈R，且ab，cd，则下列结论中正确的是（）

A.a+cb+dB.a－cb－dC.acbdD.

（2）（1999上海理，15）若ab0，则下列结论中正确的命题是（）

A和 均不可以成立

B. 和 均不可以成立

C.不等式 和（a+ ）2（b+ ）2均不可以成立

D.不等式 和（a+ ）2（b+ ）2均不可以成立

分析：（1）答案：A；∵ab，cd，∴a+cb+d；

（2）答案：B

分析：∵b0，∴－b0，∴a－ba，又∵a－b0，a0，∴ 。

故 不成立。

∵ab0，∴|a||b|，∴ 故 不成立。由此可选B。

另外，A中 成立.C与D中（a+ ）2（b+ ）2成立。

其证明如下：∵ab0， 0，∴a+ b+ 0，∴|a+ ||b+ |，

故（a+ ）2（b+ ）2。

点评：本题考查不等式的基本性质。

题型2：基本不等式

例3．（06浙江理，7）“a＞b＞0”是“ab＜ ”的（）

充分而非必要条件必要而不充分条件

充分必要条件既不允分也非必要条件

分析：A； 中参数的取值不仅仅是指可以取非负数。均值不等式满足 。

点评：该题考察了基本不等式中的易错点。

例4．（1）（2001京春）若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的小值是（）

A.18B.6 C.2 D.2

（2）（2000全国，7）若a＞b＞1，P＝ ，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），则（）

A.R＜P＜QB.P＜Q＜R

C.Q＜P＜RD.P＜R＜Q

分析：（1）答案：B；3a+3b≥2 =6，当且仅当a=b=1时取等号。故3a+3b的小值是6；

（2）答案：B；∵lga＞lgb＞0，∴ （lga＋lgb）＞ ，即Q＞P，

又∵a＞b＞1，∴ ，

∴ （lga＋lgb），

即R＞Q，∴有P＜Q＜R，选B。

点评：本题考查不等式的平均值定理，应该注意判断等号成立的条件。

题型3：不等式的证明

例5．已知a＞0，b＞0，且a+b=1求证≥ 。

证法1、 2+4－25ab+4≥0，

即证42－33+8≥0，即证ab≤ 或ab≥8

∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立

∵1=a+b≥2 ，∴ab≤ ，从而得证。

证法2、

设a= +t1，b= +t2。

∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜ ，

显然当且仅当t=0，即a=b= 时，等号成立。

证法3、

∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ，∴ab≤ ，

证法4、

∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ，∴ab≤ ，

。

证法5、

∵a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈，

点评：比较法证不等式有作差、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程需要详细叙述：假如作差未来的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用辨别式法证。

3.设计诱发学生思维的问题：三个同学对问题“关于 的不等式 ＋25＋| －5 |≥ 在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路。

甲说：“只须不等式左侧的小值不小于右侧的大值”；

乙说：“把不等式变形为左侧含变量 的函数，右侧仅含常数，求函数的值”；

丙说：“把不等式两边看成关于 的函数，作出函数图像”；

参考上述解题思路，你觉得他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是。

答案：a≤10。

点评：该题通过设置情景，将不等式常识蕴含在一个对话情景里面，考查学生阅读能力、剖析问题、解决问题的能力。

课后深思

评价成效

学生评价

一题多解，开放了学生的思路

自我评价

还需要总结分类讨论的思想

修改手段

加一道分类讨论题，（x－a）（x－a2）＜0，∴x1＝a，x2＝a2。

当a=a2时，a=0或a=1，x∈ ，当a＜a2时，a＞1或a＜0，a＜x＜a2，

当a＞a2时0＜a＜1，a2＜x＜a，

∴当a＜0时a＜x＜a2，当0＜a＜1时，a2＜x＜a，当a＞1时，a＜x＜a2，当a=0或a=1时，x∈ 。

备课

剖析教学问题

①剖析教程数列求和和数列综合及实质问题在高考考试中占有要紧的地位，通常情况下都是出一道解答卷，解答卷大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等常识，通过运用逆推思想、函数与方程、总结与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想办法，这类题目都考察考生灵活运用数学常识剖析问题和解决问题的能力，它们都是中、高端题目。

有关命题趋势：

1．数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的综合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计考试试题，尤其是代数推理题是高考考试的重点；

2．数列推理题是将继续成为数列命题的一个闪光点，这是因为此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力，能区别学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度；

3．数列与新的章节常识结合的特征大概加大，如与分析几何的结合等；

4．有关数列的应用问题也一直备受关注。

预测2025年高考考试对本将的考察为：

1．可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、日常的实质问题的解答卷；

2．也会为一道常识交汇题是数列与函数、不等式、分析几何、应用问题上等联系的综合题，与数列、数学总结法等有机结合。

②剖析学生：可能对公式的熟练程度不够，对解题思想理解不深刻

确定教学目的（三维目的）

学会常识技能、过程办法、情感态度与价值观

1．探索并学会一些基本的数列求前n项和的办法；

2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并可以用有关等差、等比数列常识解决相应的实质问题。

打造解决教学的策略

①重点、难题：、

求通项常用办法

①作新数列法。作等差数列与等比数列；

②累差叠加法。

③等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；

④裂项求和

⑤错项相消法

⑥并项求和。⑦通项分解法：

教学方法：讲授

教学环境和教具：多媒体

上课

运行策略

1、导课1．数列求通项与和

（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an= 。

（2）求通项常用办法

①作新数列法。作等差数列与等比数列；

②累差叠加法。基本的形式是：an=++…++a1；

③总结、猜想法。

（3）数列前n项和

①要紧公式：1+2+…+n= n；

12+22+…+n2= n；

13+23+…+n3=2= n22；

②等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；

③等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；

④裂项求和

将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f－f，然后累加抵消掉中间的很多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要学会一些容易见到的裂项，如：、 = －、n·n！=!－n!、Cn－1r－1=Cnr－Cn－1r、 = － 等。

⑤错项相消法

对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。 , 其中 是等差数列， 是等比数列，记，则，…

⑥并项求和

把数列的某些项放在一块先求和，然后再求Sn。

数列求通项及和的办法多种多样，要视具体情形使用适合办法。

⑦通项分解法：

2．递归数列

数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1，及a1=1，确定的数列即为递归数列。

递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：

（1）总结、猜想、数学总结法证明。

（2）迭代法。

（3）代换法。包含代数代换，对数代数，三角代数。

（4）作新数列法。容易见到的是作成等差数列或等比数列来解决问题：

2、教学结构：题型1：裂项求和

例1．已知数列 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和： 。

分析：第一考虑 ，则 = 。

点评：已知数列 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和 也可用裂项求和法。

例2．求 。

分析： ，

点评：裂项求和的重点是先将形式复杂的因式转化的简单一些。

题型2：错位相减法

例3．设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和。

分析：①若a=0时，Sn=0；

②若a=1，则Sn=1+2+3+…+n= ；

③若a≠1，a≠0时，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan），

Sn= 。

例4．已知 ，数列 是首项为a，公比也为a的等比数列，令 ，求数列 的前 项和 。

分析： ，

①-②得： ，

点评：设数列 的等比数列，数列 是等差数列，则数列 的前 项和 求解，均可用错位相减法。

题型3：倒序相加

例5．求 。

分析：。①

又。②

所以 。

点评：Sn表示从第一项依次到第n项的和，然后又将Sn表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到Sn的一种求和办法。

例6．设数列 是公差为 ，且首项为 的等差数列，

求和：

分析：由于 ，

，

。

点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列 的前 项和 ，是不是存在等差数列 使得 对所有自然数n都成立。

题型4：其他办法

例7．求数列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n项和。

分析：本题实质是求一个奇数列的和。在该数列的前n项中共有 个奇数，故 。

例8．求数列1，3＋ ，32＋ ，……，3n＋ 的各项的和。

分析：其和为＋= = 。

题型5：数列综合问题

例9．（ 2025年浙江卷）已知函数 ＝x3+x2，数列 | xn| （xn 0）的第一项x1＝1，将来各项按如下方法取定：曲线y＝在处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn））两点的直线平行（如图）。

求证：当n 时：（I） ；（II） 。

分析：（I）由于

所以曲线 在 处的切线斜率

由于过 和 两点的直线斜率是

所以 .

（II）由于函数 当 时单调递增，

而

所以 ，即

因此

又由于

令 则

由于 所以

因此

故

点评：数列与分析几何问题结合在一块，数列的通项与线段的长度、点的坐标打造起联系。

3诱发学生思维的问题：思维总结

1．数列求和的常用办法

（1）公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；

（2）裂项相消法：适用于 其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等；

（3）错位相减法：适用于 其中{ }是等差数列， 是各项不为0的等比数列。

（4）倒序相加法：像等差数列前n项和公式的推导办法.

（5）分组求和法

（6）累加（乘）法等。

2．常用结论

（1） 1+2+3+...+n =

（2） 1+3+5+...+ =

（3）

（4）

（5）

（6）

课后深思

评价成效

学生评价

题型全，精炼。典型题解说的透

自我评价

提升学生对题型的理解。

修改手段

．直接用公式时，注意公式的应用范围和推导过程